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Derivación formula Black-Scholes
El propósito de este paper es mostrar todos los detalles de cómo resolver la ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes cuando el producto derivado es un Call Europeo sobre una acción que no paga dividendos. Los pre-requisitos para entender el presente trabajo son: Probabilidad, derivadas, integrales, derivadas parciales, ecuaciones diferenciales ordinarias y transformada de Fourier.
INTRODUCCIÓN
La siguiente es la
ecuación diferencial de Black-Scholes:
Donde F(S,t) es el valor del producto derivado, σ es la volatilidad, r es la tasa libre de
riesgo y S es el precio de la acción subyacente.
La misma es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo parabólico. La
ecuación de calor es un ejemplo de este tipo de ecuaciones en derivadas parciales.
Productos derivados de diferentes clases obedecen la ecuación de Black-Scholes.
Soluciones diferentes corresponden a diferentes condiciones iniciales/finales y a
condiciones de contorno impuestas cuando se resuelve la ecuación.
Dado que hay una derivada segunda asociada con S y una derivada primera para t,
necesitamos dos condiciones para S y una condición para t. Sin estas condiciones la
ecuación en derivadas parciales no tendría una solución única.
Para un call europeo, F(S,t) es el valor del Call donde S es el precio de la acción subyacente
y t el tiempo. Solo estamos interesados en el valor de la opción durante el intervalo de
tiempo [0,T] donde T es la fecha de ejercicio de la opción.
