El propósito de este paper es mostrar todos los detalles de cómo resolver la ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes cuando el producto derivado es un Call Europeo sobre una acción que no paga dividendos. Los pre-requisitos para entender el presente trabajo son: Probabilidad, derivadas, integrales, derivadas parciales, ecuaciones diferenciales ordinarias y transformada de Fourier.
INTRODUCCIÓN
La siguiente es la
ecuación diferencial de Black-Scholes:
Donde F(S,t) es el valor del producto derivado, σ es la volatilidad, r es la tasa libre de
riesgo y S es el precio de la acción subyacente.
La misma es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo parabólico. La
ecuación de calor es un ejemplo de este tipo de ecuaciones en derivadas parciales.
Productos derivados de diferentes clases obedecen la ecuación de Black-Scholes.
Soluciones diferentes corresponden a diferentes condiciones iniciales/finales y a
condiciones de contorno impuestas cuando se resuelve la ecuación.
Dado que hay una derivada segunda asociada con S y una derivada primera para t,
necesitamos dos condiciones para S y una condición para t. Sin estas condiciones la
ecuación en derivadas parciales no tendría una solución única.
Para un call europeo, F(S,t) es el valor del Call donde S es el precio de la acción subyacente
y t el tiempo. Solo estamos interesados en el valor de la opción durante el intervalo de
tiempo [0,T] donde T es la fecha de ejercicio de la opción.
En el momento T, el precio de la acción subyacente puede ser mayor o menor al precio de
ejercicio K. El valor terminal de un Call Europeo es: max [S-K, 0] o lo que es lo mismo (S-K)+
Entonces la condición final para el Call Europeo es:
· F(S,T) = (S-K)+ para S Є (0,∞)
Además tenemos las siguientes condiciones de contorno para S:
· F(0,t) = 0
· F(S,t) → S cuando S → ∞
Para resolver la ecuación (1), primero vamos a convertirla en la famosa ecuación de calor:
Para ello realizaremos dos cambios de variables. Luego utilizaremos la transformada de
Fourier para resolver la ecuación de calor. Por último volveremos a las variables originales.
REDUCCIÓN A LA ECUACIÓN DE CALOR
Primer cambio de variables
Teniendo en cuenta estas nuevas variables, calculamos las nuevas derivadas parciales
aplicando la regla de la cadena para funciones de dos variables:
Introduciendo (2), (3) y (4) en la ecuación (1) obtenemos:
Debido al cambio de variable, la condición final se transforma en una condición inicial ya
que cuando t=T la nueva variable τ=0. Recordando que:
Segundo cambio de variables
Introducimos la nueva función u(x,τ) y las constantes α y β:
Dado que α y β son constantes arbitrarias, la idea es que tomen valores que hagan que los
corchetes se hagan cero. Entonces si α y β valen:
RESOLVIENDO LA ECUACIÓN DE CALOR
Existen diferentes métodos para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Uno de ellos
en utilizar la Transformada de Fourier y es el que utilizaremos aquí. Aplicaremos la
transformada de Fourier con respecto a la variable x dejando fijo t, convirtiendo la
ecuación en derivadas parciales con variables x,τ en una ecuación diferencial ordinaria con
variables ω,τ. Resolveremos la ecuación diferencial ordinaria y luego aplicaremos la
transformada inversa de Fourier para obtener la solución en las variables originales x,τ.
Para comprender la dualidad entre una función f(x) y su transformada f(ω) considerar un
mundo diferente, el mundo “ω”, en contraposición al mundo “x”. El mundo ω tiene otro
conjunto de reglas y ciertas cuestiones que en el mundo “x” son complicadas en el mundo
“ω” son mucho más simples. Por ejemplo la diferenciación en el mundo “x” se transforma
en una multiplicación por -iω en el mundo “ω”. Ver apéndice para mayor detalle de las
propiedades de la Transformada de Fourier.
Tenemos la siguiente ecuación en derivadas parciales y condición inicial:
donde:
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